Álgebra Ejemplos

Encontrar la intersección de la recta a través de un punto ${\displaystyle (p,q,r)}$ perpendicular al plano ${\displaystyle P_1}$ ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ y el plano ${\displaystyle P_2}$ ${\displaystyle ex+fy+gz=h}$:

1. Hallar los vectores normales del plano ${\displaystyle P_1}$ y ${\displaystyle P_2}$ donde los vectores normales son ${\displaystyle n_1=〈a,b,c〉}$ y ${\displaystyle n_2=〈e,f,g〉}$. Comprobar si el producto escalar es 0.

2. Crear un conjunto de ecuaciones paramétricas tales que ${\displaystyle x=p+at}$, ${\displaystyle y=q+bt}$ y ${\displaystyle z=r+ct}$.

3. Sustituir estas ecuaciones en el plano de la ecuación ${\displaystyle P_2}$ de modo que ${\displaystyle e(p+at)+f(q+bt)+g(r+ct)=h}$ y resolver para ${\displaystyle t}$.

4. Usando el valor de ${\displaystyle t}$, resolver las ecuaciones paramétricas ${\displaystyle x=p+at}$, ${\displaystyle y=q+bt}$ y ${\displaystyle z=r+ct}$ para ${\displaystyle t}$ para encontrar la intersección ${\displaystyle (x,y,z)}$.

Siguiente, construya un conjunto de ecuaciones paramétricas ${\displaystyle x=p+at}$, ${\displaystyle y=q+bt}$ y ${\displaystyle z=r+ct}$ usando el origen ${\displaystyle (0,0,0)}$ para el punto ${\displaystyle (p,q,r)}$ y los valores desde el vector normal ${\displaystyle 5}$ para los valores de ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle c}$. Este conjunto de ecuaciones paramétricas representa la recta a través el origen que es perpendicular a ${\displaystyle P_1}$ ${\displaystyle 3x-y=-4}$.

Sustituya la expresión para ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$ en la ecuación para ${\displaystyle P_2}$ ${\displaystyle x-2y=-3}$.