Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Halle la primera derivada.

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Por la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Evalúe $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Dado que $4$ es constante respecto a $4 x^{3}$ , la derivada de $x$ respecto a $4 x^{3}$ es $x$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Multiplicar $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Evalúe $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Dado que $- 1$ es constante respecto a $- x^{4}$ , la derivada de $x$ respecto a $- x^{4}$ es $x$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Multiplicar $4$ por $- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Diferenciar.

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Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Ya que $5$ es constante respecto a $x$ , la derivada de $5$ respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Simplifica.

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Sumar $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ y $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Reordena los términos.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Dibujar cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de la intersección.

$x \approx 3.02727941$

Dividir $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen la primera derivada $0$ o indefinida.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Sustituya cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, 3.02727941)$ en la primera derivada $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Sustituye la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Simplifica el resultado.

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Simplifique cada término.

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Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da $0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Multiplicar $- 4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Multiplicar $12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Simplifique añadiendo números.

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Sumar $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Sumar $0$ y $1$ .

$f' (0) = 1$

La respuesta final es $1$ .

$1$

Sustituya cualquier número, como $6$ , del intervalo $(3.02727941, \infty)$ en la primera derivada $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Sustituye la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Simplifica el resultado.

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Simplifique cada término.

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Elevar $6$ a la potencia de $3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Multiplicar $- 4$ por $216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Elevar $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Multiplicar $12$ por $36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Simplifique añadiendo números.

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Sumar $- 864$ y $432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Sumar $- 432$ y $1$ .

$f' (6) = - 431$

La respuesta final es $- 431$ .

$- 431$

Dado que la primera derivada cambia de signo positivo a negativo en torno a $x = 3.02727941$ , hay un punto de inflexión en $x = 3.02727941$ .

Halla la coordenada y de $3.02727941$ para hallar el punto de inflexión.

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Halla $f (3.02727941)$ para determinar la coordenada y de $3.02727941$ .

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Sustituye la variable $x$ con $3.02727941$ en la expresión.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Simplifica $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

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Quita el paréntesis.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Simplifique cada término.

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Elevar $3.02727941$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Multiplicar $4$ por $27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Elevar $3.02727941$ a la potencia de $4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Multiplicar $- 1$ por $83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Simplifique añadiendo y sustrayendo.

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Reste $83.98660555$ de $110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Sumar $26.98644204$ y $3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Sumar $30.01372146$ y $5$ .

$35.01372146$

Escribe las coordenadas $x$ y $y$ en forma de punto.

$(3.02727941, 35.01372146)$