Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{5}$

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Encuentre la segunda derivada.

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Halle la primera derivada.

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Dado que $- 1$ es constante respecto a $- x^{5}$ , la derivada de $x$ respecto a $- x^{5}$ es $x$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{5}$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = - (5 x^{4})$

Multiplicar $5$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 5 x^{4}$

Encuentre la segunda derivada.

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Dado que $- 5$ es constante respecto a $- 5 x^{4}$ , la derivada de $x$ respecto a $- 5 x^{4}$ es $x$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3})$

Multiplicar $4$ por $- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3}$

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 20 x^{3}$ .

$- 20 x^{3}$

Iguala la segunda derivada a $0$ para resolver la ecuación $- 20 x^{3} = 0$ .

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Iguale la segunda derivada a $0$ .

$- 20 x^{3} = 0$

Divide cada término de $- 20 x^{3} = 0$ por $- 20$ y simplifica.

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Dividir cada término de $- 20 x^{3} = 0$ por $- 20$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{- 20} = \frac{0}{- 20}$

Simplificar el lado izquierdo.

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Anula el factor común de $- 20$ .

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Cancele el factor común.

$\frac{- 20 x^{3}}{- 20} = \frac{0}{- 20}$

Divida $x^{3}$ entre $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{- 20}$

Simplificar el lado derecho.

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Divida $0$ entre $- 20$ .

$x^{3} = 0$

Tomar raíz cúbica a ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Extraiga términos del radical, suponiendo que son números reales.

$x = 0$

El dominio de la expresión es todos los números reales excepto aquellos donde la expresión está indefinida. En este caso, no hay números reales que hagan que la expresión esté indefinida.

Notación de intervalos:

$(- \infty, \infty)$

Notación de conjuntos por comprensión:

${x | x \in ℝ}$

Crea intervalos alrededor de los valores $x$ en donde la segunda derivada es cero o no existe.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Sustituya cualquier número del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada y evalúe para determinar la concavidad o convexidad.

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Sustituye la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = - 20 {(- 2)}^{3}$

Simplifica el resultado.

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Elevar $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 2) = - 20 \cdot - 8$

Multiplicar $- 20$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = 160$

La respuesta final es $160$ .

$160$

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es positivo.

Convexa en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positiva

Sustituya cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúe para determinar la concavidad o convexidad.

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Sustituye la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = - 20 {(2)}^{3}$

Simplifica el resultado.

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Elevar $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = - 20 \cdot 8$

Multiplicar $- 20$ por $8$ .

$f'' (2) = - 160$

La respuesta final es $- 160$ .

$- 160$

La gráfica es cóncava en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es negativo.

Cóncava en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativa

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexa en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es positiva

Cóncava en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativa