Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$

Halle la primera derivada de la función.

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Por la regla de la suma, la derivada de $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Evalúe $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Dado que $- 5$ es constante respecto a $- 5 x^{2}$ , la derivada de $x$ respecto a $- 5 x^{2}$ es $x$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Multiplicar $2$ por $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Evalúe $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Dado que $14$ es constante respecto a $14 x$ , la derivada de $x$ respecto a $14 x$ es $x$ .

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Multiplicar $14$ por $1$ .

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Diferenciar usando la regla de la constante.

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Ya que $3$ es constante respecto a $x$ , la derivada de $3$ respecto a $x$ es $3$ .

$- 10 x + 14 + 0$

Sumar $- 10 x + 14$ y $0$ .

$- 10 x + 14$

Halle la segunda derivada de la función.

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Por la regla de la suma, la derivada de $- 10 x + 14$ respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (14)$

Evalúe $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Dado que $- 10$ es constante respecto a $- 10 x$ , la derivada de $x$ respecto a $- 10 x$ es $x$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (14)$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (14)$

Multiplicar $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (14)$

Diferenciar usando la regla de la constante.

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Ya que $14$ es constante respecto a $x$ , la derivada de $14$ respecto a $x$ es $14$ .

$f'' (x) = - 10 + 0$

Sumar $- 10$ y $0$ .

$f'' (x) = - 10$

Para hallar los máximos y mínimos locales de la función, iguala la derivada a $0$ y resuelve.

$- 10 x + 14 = 0$

Halle la primera derivada.

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Halle la primera derivada.

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Por la regla de la suma, la derivada de $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Evalúe $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Dado que $- 5$ es constante respecto a $- 5 x^{2}$ , la derivada de $x$ respecto a $- 5 x^{2}$ es $x$ .

$f' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Multiplicar $2$ por $- 5$ .

$f' (x) = - 10 x + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Evalúe $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Dado que $14$ es constante respecto a $14 x$ , la derivada de $x$ respecto a $14 x$ es $x$ .

$f' (x) = - 10 x + 14 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Multiplicar $14$ por $1$ .

$f' (x) = - 10 x + 14 + \frac{d}{d x} (3)$

Diferenciar usando la regla de la constante.

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Ya que $3$ es constante respecto a $x$ , la derivada de $3$ respecto a $x$ es $3$ .

$f' (x) = - 10 x + 14 + 0$

Sumar $- 10 x + 14$ y $0$ .

$f' (x) = - 10 x + 14$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 x + 14$ .

$- 10 x + 14$

Iguala la primera derivada a $0$ , después resuelve la ecuación $- 10 x + 14 = 0$ .

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Iguala la primera derivada a $0$ .

$- 10 x + 14 = 0$

Restar $14$ a ambos lados de la ecuación.

$- 10 x = - 14$

Divide each term in $- 10 x = - 14$ by $- 10$ and simplify.

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Dividir cada término de $- 10 x = - 14$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Simplificar el lado izquierdo.

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Anula el factor común de $- 10$ .

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Cancele el factor común.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Divida $x$ entre $1$ .

$x = \frac{- 14}{- 10}$

Simplificar el lado derecho.

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Cancelar el factor común de $- 14$ y $- 10$ .

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Factoriza $- 2$ a partir de $- 14$ .

$x = \frac{- 2 (7)}{- 10}$

Cancelar los factores comunes.

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Factoriza $- 2$ a partir de $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Cancele el factor común.

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Sustituya la expresión.

$x = \frac{7}{5}$

Determina los valores en los que la derivada no está definida.

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El dominio de la expresión es todos los números reales excepto aquellos donde la expresión está indefinida. En este caso, no hay números reales que hagan que la expresión esté indefinida.

Critical points to evaluate.

$x = \frac{7}{5}$

Evaluar la segunda derivada en $x = \frac{7}{5}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces se trata de un mínimo local. Si es negativa, entonces es un máximo local.

$- 10$

$x = \frac{7}{5}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se llama prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{7}{5}$ es un máximo local

Hallar el valor de y cuando $x = \frac{7}{5}$ .

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Sustituye la variable $x$ con $\frac{7}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{7}{5}) = - 5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Simplifica el resultado.

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Simplifique cada término.

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Aplicar la regla del producto a $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{7^{2}}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Elevar $7$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{49}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Elevar $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Anula el factor común de $5$ .

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Factoriza $5$ a partir de $- 5$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 (- 1) (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Factoriza $5$ a partir de $25$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Cancele el factor común.

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Sustituya la expresión.

$f (\frac{7}{5}) = - 1 (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Reescribe $- 1 (\frac{49}{5})$ como $- (\frac{49}{5})$ .

$f (\frac{7}{5}) = - (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Multiplicar $14 (\frac{7}{5})$ .

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Combinar $14$ y $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{14 \cdot 7}{5} + 3$

Multiplicar $14$ por $7$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{98}{5} + 3$

Combina las fracciones.

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Combinar los numeradores sobre el común denominador.

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{- 49 + 98}{5}$

Sumar $- 49$ y $98$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{49}{5}$

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} + \frac{49}{5}$

Combinar $3$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} + \frac{49}{5}$

Combinar los numeradores sobre el común denominador.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5 + 49}{5}$

Simplifica el numerador.

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Multiplicar $3$ por $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{15 + 49}{5}$

Sumar $15$ y $49$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{64}{5}$

La respuesta final es $\frac{64}{5}$ .

$y = \frac{64}{5}$

Estas son los extremos locales de $f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$ .

$(\frac{7}{5}, \frac{64}{5})$ es un máximo local