Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ , $(- 3, 4)$

Encuentra la derivada de $f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ .

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Halle la primera derivada.

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Diferenciar.

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Por la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3 x + 34$ respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (34)$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (34)$

Evalúe $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Dado que $3$ es constante respecto a $3 x$ , la derivada de $x$ respecto a $3 x$ es $x$ .

$f' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (34)$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (34)$

Multiplicar $3$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x + 3 + \frac{d}{d x} (34)$

Diferenciar usando la regla de la constante.

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Ya que $34$ es constante respecto a $x$ , la derivada de $34$ respecto a $x$ es $34$ .

$f' (x) = 2 x + 3 + 0$

Sumar $2 x + 3$ y $0$ .

$f' (x) = 2 x + 3$

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x + 3$ .

$2 x + 3$

El dominio de la expresión es todos los números reales excepto aquellos donde la expresión está indefinida. En este caso, no hay números reales que hagan que la expresión esté indefinida.

Notación de intervalos:

$(- \infty, \infty)$

Notación de conjuntos por comprensión:

${x | x \in ℝ}$

$f' (x)$ es continua en $[- 3, 4]$ .

X= es continua

El valor promedio de la función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Sustituye los valores actuales en la fórmula para el valor medio de una función.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x + 3 d x)$

Dividir la integral simple en múltiples integrales.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Dado que $2$ es constante respecto a $x$ , saque $2$ de la integral.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 \int_{- 3}^{4} x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Por la regla de la potencia, la integral de $x$ respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Combinar $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Apply the constant rule.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

Sustituir y simplificar.

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Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

Evalúa $3 x$ en $4$ y en $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Simplifica.

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Elevar $4$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Cancelar el factor común de $16$ y $2$ .

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Factoriza $2$ a partir de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Cancelar los factores comunes.

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Factoriza $2$ a partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Cancele el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Sustituya la expresión.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Divida $8$ entre $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Elevar $- 3$ a la potencia de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Combinar $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Combinar los numeradores sobre el común denominador.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Simplifica el numerador.

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Multiplicar $8$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Reste $9$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{7}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Combinar $2$ y $\frac{7}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Multiplicar $2$ por $7$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{14}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Cancelar el factor común de $14$ y $2$ .

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Factoriza $2$ a partir de $14$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Cancelar los factores comunes.

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Factoriza $2$ a partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 (1)} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Cancele el factor común.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Sustituya la expresión.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{7}{1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Divida $7$ entre $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Multiplicar $3$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 - 3 \cdot - 3)$

Multiplicar $- 3$ por $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 + 9)$

Sumar $12$ y $9$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 21)$

Sumar $7$ y $21$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (28)$

Sumar $4$ y $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 28$

Anula el factor común de $7$ .

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Factoriza $7$ a partir de $28$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (4))$

Cancele el factor común.

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 4)$

Sustituya la expresión.

$A (x) = 4$