Cálculo Ejemplos

$y = x^{2}$ , $y = x$

Para encontrar el volumen del sólido, primero define el área de cada sección, después integra en el rango. El área de cada sección es el área de un círculo con radio $f (x)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2}$

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Aplique la regla de la potencia y multiplique exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Multiplicar $2$ por $2$ .

$V = x^{2} - x^{4}$

Dividir la integral simple en múltiples integrales.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Por la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Combinar $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Dado que $- 1$ es constante respecto a $x$ , saque $- 1$ de la integral.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Por la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Simplifica la respuesta.

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Combinar $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Sustituir y simplificar.

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Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Evalúa $\frac{x^{5}}{5}$ en $1$ y en $0$ .

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Simplifica.

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Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Cancelar el factor común de $0$ y $3$ .

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Factoriza $3$ a partir de $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Cancelar los factores comunes.

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Factoriza $3$ a partir de $3$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Cancele el factor común.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Sustituya la expresión.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Divida $0$ entre $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Multiplicar $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Sumar $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Cancelar el factor común de $0$ y $5$ .

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Factoriza $5$ a partir de $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Cancelar los factores comunes.

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Factoriza $5$ a partir de $5$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Cancele el factor común.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Sustituya la expresión.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Divida $0$ entre $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

Multiplicar $- 1$ por $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

Sumar $\frac{1}{5}$ y $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Para escribir $- \frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Escriba cada expresión con un denominador común de $15$ , al multiplicar cada uno por un factor apropiado de $1$ .

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Multiplicar $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Multiplicar $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Multiplicar $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Multiplicar $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Combinar los numeradores sobre el común denominador.

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

Reste $3$ de $5$ .

$V = π (\frac{2}{15})$

Combinar $π$ y $\frac{2}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

Mover $2$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{2 π}{15}$

El resultado se puede mostrar en múltiples formas.

Forma exacta:

$V = \frac{2 π}{15}$

Forma decimal:

$V = 0.41887902 \dots$