Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$

Para resolver la ecuación diferencial, deja $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Resuelve la ecuación para $y$ .

$y = v^{- 1}$

Toma la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Toma la derivada de $v^{- 1}$ con respecto a $x$ .

Toca para ver más pasos...

Toma la derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Reescribir la expresión utilizando la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Diferencie usando la regla del cociente que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Multiplicar $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Ya que $1$ es constante respecto a $x$ , la derivada de $1$ respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Multiplicar $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Reste $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Mueve el signo negativo a la parte frontal de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Sustituye $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - y = e^{x} y^{2}$

Sustituye $v^{- 1}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Resuelve las ecuaciones diferenciales sustituidas.

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Sustituye $v^{- 1}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Sustituye $v^{- 1}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Multiplica cada término de $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Multiplicar cada término de $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Simplificar el lado izquierdo.

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Simplifique cada término.

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Anula el factor común de $v^{2}$ .

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Mover el signo menos en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Factoriza $v^{2}$ a partir de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Cancele el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Sustituya la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Multiplicar $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Multiplicar $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Reescribir utilizando la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Multiplique $v^{- 1}$ por $v^{2}$ sumando exponentes.

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Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Usar la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Reste $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Simplifica $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Multiplicar $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Multiplicar $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Simplificar el lado derecho.

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Reescribir utilizando la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Multiplica los exponentes en ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Aplique la regla de la potencia y multiplique exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Multiplicar $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 2} v^{2}$

Multiplique $v^{- 2}$ por $v^{2}$ sumando exponentes.

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Mueve $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} (v^{2} v^{- 2})$

Usar la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{2 - 2}$

Reste $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{0}$

Simplifica $- e^{x} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x}$

El factor de integración se define por la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , en donde $P (x) = 1$ .

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Ajusta la integral.

$e^{\int d x}$

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Multiplica cada término por el factor de integración $e^{x}$ .

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Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- e^{x})$

Reescribir utilizando la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x} e^{x}$

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ sumando exponentes.

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Mueve $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - (e^{x} e^{x})$

Usar la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x + x}$

Sumar $x$ y $x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - e^{2 x}$

Reescribe el lado izquierdo como el resultado de la diferencia de productos.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - e^{2 x}$

Pon una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - e^{2 x} d x$

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} v = \int - e^{2 x} d x$

Integra el lado derecho.

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Dado que $- 1$ es constante respecto a $x$ , saque $- 1$ de la integral.

$e^{x} v = - \int e^{2 x} d x$

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de forma que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribir usando $u$ y $d$ u.

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Siendo $u = 2 x$ . Hallar $\frac{d u}{d x}$ .

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Diferenciar $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Dado que $2$ es constante respecto a $2 x$ , la derivada de $x$ respecto a $2 x$ es $x$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplicar $2$ por $1$ .

$2$

Reescriba el problema en términos de $u$ y $d u$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Combinar $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante respecto a $u$ , saque $\frac{1}{2}$ de la integral.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

La integral de $e^{u}$ respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Simplifica.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Reemplazar todas las apariciones de $u$ con $2 x$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Divide cada término de $e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Dividir cada término de $e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Simplificar el lado izquierdo.

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Anula el factor común de $e^{x}$ .

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Cancele el factor común.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Divida $v$ entre $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Simplificar el lado derecho.

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Simplifique cada término.

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Cancelar el factor común de $e^{2 x}$ y $e^{x}$ .

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Factoriza $e^{x}$ a partir de $- \frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Cancelar los factores comunes.

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Multiplica por $1$ .

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Cancele el factor común.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Sustituya la expresión.

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Divida $- \frac{1}{2} e^{x}$ entre $1$ .

$v = - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Combinar $e^{x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Sustituya $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$