Cálculo Ejemplos

$(2 x + y) d x + (x + 1) d y = 0$

Find $\frac{\partial M}{\partial y}$ where $M (x, y) = 2 x + y$ .

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Differentiate $M$ with respect to $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Por la regla de la suma, la derivada de $2 x + y$ respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$

Ya que $2 x$ es constante respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Sumar $0$ y $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Find $\frac{\partial N}{\partial x}$ where $N (x, y) = x + 1$ .

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Differentiate $N$ with respect to $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Por la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Ya que $1$ es constante respecto a $x$ , la derivada de $1$ respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Sumar $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Check that $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Dado que los dos lados han demostrado ser equivalentes, la ecuación es una identidad.

$1 = 1$ es una identidad.

Set $f (x, y)$ equal to the integral of $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y d x$

Integrate $M (x, y) = 2 x + y$ to find $f (x, y)$ .

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Dividir la integral simple en múltiples integrales.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x$

Dado que $2$ es constante respecto a $x$ , saque $2$ de la integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x$

Por la regla de la potencia, la integral de $x$ respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

Combinar $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

Simplifica.

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

Since the integral of $g (y)$ will contain an integration constant, we can replace $C$ with $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$

Set $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 1$

Halla $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Differentiate $f$ with respect to $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + 1$

Por la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y x + g (y)$ respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Ya que $x^{2}$ es constante respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Evalúe $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Dado que $x$ es constante respecto a $y x$ , la derivada de $y$ respecto a $y x$ es $y$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Multiplicar $x$ por $1$ .

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Differentiate using the function rule which states that the derivative of $g (y)$ is $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

Simplifica.

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Sumar $0$ y $x$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

Resuelve para $\frac{d g}{d y}$ .

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Mover todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Find the antiderivative of $1$ to find $g (y)$ .

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Integrate both sides of $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Evalúe $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = y + C$

Substitute for $g (y)$ in $f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y x + y + C$

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