Cálculo Ejemplos

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Halla $y'$ .

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Diferencie ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

La derivada de $y$ respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Diferencie el lado derecho de la ecuación.

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Dado que $3$ es constante respecto a $3 e^{- 2 x}$ , la derivada de $x$ respecto a $3 e^{- 2 x}$ es $x$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Diferencie usando la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Para aplicar la regla de la cadena, haz que $u$ sea $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Diferencie usando la regla exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ cuando $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Reemplazar todas las apariciones de $u$ con $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Diferenciar.

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Dado que $- 2$ es constante respecto a $- 2 x$ , la derivada de $x$ respecto a $- 2 x$ es $x$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Multiplicar $- 2$ por $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Multiplicar $- 6$ por $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Reforme la ecuación haciendo el lado izquierdo igual al lado derecho.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Simplifica.

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Multiplicar $3$ por $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Sumar $- 6 e^{- 2 x}$ y $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = 3 e^{- 2 x}$ es solución de $y' + 2 y = 0$