Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(1, 6)$

La pendiente de la línea tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $y = 3 x^{2} + 3 x$

Considera la definición mediante límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Encuentre los componentes de la definición.

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Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Sustituye la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Simplifica el resultado.

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Simplifique cada término.

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Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Expande $(x + h) (x + h)$ usando el método FOIL.

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Aplicar al propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Aplicar al propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Aplicar al propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Simplificar y combinar términos semejantes.

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Simplifique cada término.

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Multiplicar $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Multiplicar $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Sumar $x h$ y $h x$ .

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Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Sumar $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Aplicar al propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Multiplicar $2$ por $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

Aplicar al propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

La respuesta final es $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

Reordenar.

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Mueve $3 x$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

Mueve $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Reordena $6 h x$ y $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

Encuentre los componentes de la definición.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Sustituye los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Aplicar al propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Multiplicar $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

Multiplicar $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

Reste $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Sumar $3 h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Reste $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

Sumar $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

Factoriza $3 h$ a partir de $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ .

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Factoriza $3 h$ a partir de $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

Factoriza $3 h$ a partir de $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

Factoriza $3 h$ a partir de $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Factoriza $3 h$ a partir de $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

Factoriza $3 h$ a partir de $3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Simplifica los términos

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Anula el factor común de $h$ .

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Cancele el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

Divida $3 (h + 2 x + 1)$ entre $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

Aplicar al propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Simplifica.

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Multiplicar $2$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

Multiplicar $3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

Reordena $3 h$ y $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

Evaluar el límite.

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Separe el límite usando la Regla de la suma de los límites conforme $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Evalúe el límite de $6 x$ que es constante conforme $h$ se acerca a $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

Mover el término $3$ fuera del límite porque este es constante respecto a $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Evalúe el límite de $3$ que es constante conforme $h$ se acerca a $0$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

Evalúe el límite de $h$ introduciendo $0$ en el lugar de $h$ .

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

Simplifica la respuesta.

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Multiplicar $3$ por $0$ .

$6 x + 0 + 3$

Sumar $6 x$ y $0$ .

$6 x + 3$

Simplifica $6 (1) + 3$ .

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Multiplicar $6$ por $1$ .

$m = 6 + 3$

Sumar $6$ y $3$ .

$m = 9$

La pendiente es $m = 9$ y el punto es $(1, 6)$ .

$m = 9, (1, 6)$

Halla el valor de $b$ usando la fórmula para la ecuación de la recta.

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Usa la fórmula de la ecuación de la recta para hallar $b$ .

$y = m x + b$

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (9) \cdot x + b$

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (9) \cdot (1) + b$

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

Hallar el valor de $b$ .

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Reescriba la ecuación como $(9) \cdot (1) + b = 6$ .

$(9) \cdot (1) + b = 6$

Multiplicar $9$ por $1$ .

$9 + b = 6$

Mover todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Restar $9$ a ambos lados de la ecuación.

$b = 6 - 9$

Reste $9$ de $6$ .

$b = - 3$

Ahora que los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección en y) son conocidos, sustitúyalos en $y = m x + b$ para encontrar la ecuación de la recta.

$y = 9 x - 3$