Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Note que dado $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positivo.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Simplifica los términos

Toca para ver más pasos...

Simplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Toca para ver más pasos...

Utiliza la identidad de Pitágoras.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Extraiga términos de debajo del radical, asumiendo números reales positivos.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Elevar $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Elevar $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Usar la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Sumar $1$ y $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante respecto a $t$ , saque $\frac{1}{2}$ de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Dividir la integral simple en múltiples integrales.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de forma que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribir usando $u$ y $d$ u.

Toca para ver más pasos...

Siendo $u = 2 t$ . Hallar $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Diferenciar $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Dado que $2$ es constante respecto a $2 t$ , la derivada de $t$ respecto a $2 t$ es $t$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplicar $2$ por $1$ .

$2$

Reescriba el problema en términos de $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Combinar $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante respecto a $u$ , saque $\frac{1}{2}$ de la integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

La integral de $\cos (u)$ respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Simplifica.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Sustituir cada variable de la integral con los valores originales.

Toca para ver más pasos...

Reemplazar todas las apariciones de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Reemplazar todas las apariciones de $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Reemplazar todas las apariciones de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Combinar $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Aplicar al propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Combinar $\frac{1}{2}$ y $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Multiplicar $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Multiplicar $2$ por $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$