Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Componer la fórmula para encontrar la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = Determinante (A + (- λ I_{2}))$

Reemplazar los valores conocidos en la fórmula.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Reste el eigenvalor veces la matriz identidad de la matriz original.

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Multiplique $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Simplifica cada uno de los elementos en la matriz.

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Reordenar $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Simplifique cada elemento de la matriz $[\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$ .

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Simplifica $2 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Simplifica $4 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

Encuentra el determinante de $[\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$ .

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Ambas son notaciones válidas para el determinante de una matriz.

$Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

El determinante de la matriz $2 \times 2$ puede encontrarse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Simplifica el determinante.

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Simplifique cada término.

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Expande $(3 - λ) (6 - λ)$ usando el método FOIL.

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Aplicar al propiedad distributiva.

$p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Aplicar al propiedad distributiva.

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Aplicar al propiedad distributiva.

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Simplificar y combinar términos semejantes.

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Simplifique cada término.

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Multiplicar $3$ por $6$ .

$p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Multiplicar $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Multiplicar $6$ por $- 1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Reescribir utilizando la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot (- 1 λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

Multiplique $λ$ por $λ$ sumando exponentes.

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Mueve $λ$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot (- 1 (λ \cdot λ)) - 4 \cdot 2$

Multiplicar $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - 4 \cdot 2$

Multiplicar $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Multiplicar $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Reste $6 λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Multiplicar $- 4$ por $2$ .

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

Reste $8$ de $18$ .

$p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10$

Reordene el polinomio.

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$