Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$

Asigna a la matriz el nombre $A$ para simplificar la descripción a lo largo del problema.

$A = [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$

Componer la fórmula para encontrar la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = Determinante (A + (- λ I_{2}))$

Reemplazar los valores conocidos en la fórmula.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Reste el eigenvalor veces la matriz identidad de la matriz original.

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Multiplique $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Simplifica cada uno de los elementos en la matriz.

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Reordenar $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Simplifique cada elemento de la matriz $[\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$ .

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Simplifica $3 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Simplifica $12 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

Encuentra el determinante de $[\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$ .

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Ambas son notaciones válidas para el determinante de una matriz.

$Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

El determinante de la matriz $2 \times 2$ puede encontrarse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 12 \cdot 3$

Simplifica el determinante.

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Simplifique cada término.

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Expande $(1 - λ) (2 - λ)$ usando el método FOIL.

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Aplicar al propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

Aplicar al propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

Aplicar al propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Simplificar y combinar términos semejantes.

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Simplifique cada término.

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Multiplicar $2$ por $1$ .

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Multiplicar $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Multiplicar $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

Reescribir utilizando la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot (- 1 λ \cdot λ) - 12 \cdot 3$

Multiplique $λ$ por $λ$ sumando exponentes.

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Mueve $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot (- 1 (λ \cdot λ)) - 12 \cdot 3$

Multiplicar $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - 12 \cdot 3$

Multiplicar $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

Multiplicar $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

Reste $2 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

Multiplicar $- 12$ por $3$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36$

Reste $36$ de $2$ .

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 34$

Reordene el polinomio.

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

Iguale el polinomio característico a $0$ para encontrar los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 3 λ - 34 = 0$

Encuentre las raíces de $λ^{2} - 3 λ - 34 = 0$ resolviendo para $λ$ .

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Usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituir los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = - 34$ en la fórmula cuadrática y resolver para $λ$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 34)}}{2 \cdot 1}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Elevar $- 3$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Multiplicar $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Multiplicar $- 4$ por $- 34$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

Sumar $9$ y $136$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

Multiplicar $2$ por $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

Simplificar la expresión de modo de resolver para la parte $+$ de $\pm$ .

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Simplifica el numerador.

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Elevar $- 3$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Multiplicar $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Multiplicar $- 4$ por $- 34$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

Sumar $9$ y $136$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

Multiplicar $2$ por $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

Cambiar el $\pm$ a $+$ .

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$

Simplificar la expresión de modo de resolver para la parte $-$ de $\pm$ .

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Simplifica el numerador.

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Elevar $- 3$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Multiplicar $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

Multiplicar $- 4$ por $- 34$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

Sumar $9$ y $136$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

Multiplicar $2$ por $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

Cambiar el $\pm$ a $-$ .

$λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

El vector propio para $λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ es igual al espacio nulo de la matriz menos el valor propio multiplicado por la matriz identidad.

$ε_{A} (\frac{3 + \sqrt{145}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 + \sqrt{145}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Simplifique la expresión matricial.

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Multiplique $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Simplifica cada uno de los elementos en la matriz.

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Reordenar $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Simplifique cada elemento de la matriz $[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$ .

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Simplifica $1 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Simplifica $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Simplifica $12 + 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Simplifica $2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Halla la forma escalonada reducida de la matriz.

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Realiza la operación de filas $R_{1} = \frac{1 - \sqrt{145}}{72} R_{1}$ en $R_{1}$ (ahora $1$ ) para convertir a $1$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación $R_{1} = \frac{1 - \sqrt{145}}{72} R_{1}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{145}}{72} R_{1} & \frac{1 - \sqrt{145}}{72} R_{1} \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1 - \sqrt{145}}{72} R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{1} = \frac{1 - \sqrt{145}}{72} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1 - \sqrt{145}}{72}) \cdot (- \frac{1 + \sqrt{145}}{2}) & (\frac{1 - \sqrt{145}}{72}) \cdot (3) \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1 - \sqrt{145}}{72} R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (ahora $2$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación $R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} \\ - 12 \cdot R_{1} + R_{2} & - 12 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} \\ (- 12) \cdot (1) + 12 & (- 12) \cdot (\frac{1 - \sqrt{145}}{24}) + \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Usa la matriz resultado para declarar las soluciones finales al sistema de ecuaciones.

$x_{1} + \frac{(1 - \sqrt{145}) x_{2}}{24} = 0$

Esta expresión es el conjunto de soluciones para el sistema de ecuaciones.

${(- \frac{(1 - \sqrt{145}) x_{2}}{24}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Descomponer un vector solución reordenando cada ecuación representada en la forma reducida de la matriz aumentada al resolver para la variable dependiente en cada fila, resulta en la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{(1 - \sqrt{145}) x_{2}}{24} \\ x_{2} \end{array}]$

Expresa el vector como una combinación lineal de vectores columna usando las propiedades de la suma de vectores columna.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} - \frac{1 (1 - \sqrt{145})}{24} \\ 1 \end{array}]$

El espacio nulo del conjunto es el conjunto de vectores creado a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1 (1 - \sqrt{145})}{24} \\ 1 \end{array}]}$

El vector propio para $λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ es igual al espacio nulo de la matriz menos el valor propio multiplicado por la matriz identidad.

$ε_{A} (\frac{3 - \sqrt{145}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 - \sqrt{145}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Simplifique la expresión matricial.

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Multiplique $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Simplifica cada uno de los elementos en la matriz.

Toca para ver más pasos...

Reordenar $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Simplifique cada elemento de la matriz $[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$ .

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Simplifica $1 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Simplifica $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Simplifica $12 + 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Simplifica $2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Halla la forma escalonada reducida de la matriz.

Toca para ver más pasos...

Realiza la operación de filas $R_{1} = \frac{1 + \sqrt{145}}{72} R_{1}$ en $R_{1}$ (ahora $1$ ) para convertir a $1$ algunos elementos en la fila.

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación $R_{1} = \frac{1 + \sqrt{145}}{72} R_{1}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{145}}{72} R_{1} & \frac{1 + \sqrt{145}}{72} R_{1} \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1 + \sqrt{145}}{72} R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{1} = \frac{1 + \sqrt{145}}{72} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1 + \sqrt{145}}{72}) \cdot (- \frac{1 - \sqrt{145}}{2}) & (\frac{1 + \sqrt{145}}{72}) \cdot (3) \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1 + \sqrt{145}}{72} R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (ahora $2$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación $R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} \\ - 12 \cdot R_{1} + R_{2} & - 12 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} \\ (- 12) \cdot (1) + 12 & (- 12) \cdot (\frac{1 + \sqrt{145}}{24}) + \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 12 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Usa la matriz resultado para declarar las soluciones finales al sistema de ecuaciones.

$x_{1} + \frac{(1 + \sqrt{145}) x_{2}}{24} = 0$

Esta expresión es el conjunto de soluciones para el sistema de ecuaciones.

${(- \frac{(1 + \sqrt{145}) x_{2}}{24}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{(1 + \sqrt{145}) x_{2}}{24} \\ x_{2} \end{array}]$

Expresa el vector como una combinación lineal de vectores columna usando las propiedades de la suma de vectores columna.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} - \frac{1 (1 + \sqrt{145})}{24} \\ 1 \end{array}]$

El espacio nulo del conjunto es el conjunto de vectores creado a partir de las variables libres del sistema.

${[\begin{array}{c} - \frac{1 (1 + \sqrt{145})}{24} \\ 1 \end{array}]}$

El espacio propio de $A$ es la unión del espacio vectorial para cada valor propio.

${[\begin{array}{c} - \frac{1 (1 - \sqrt{145})}{24} \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} - \frac{1 (1 + \sqrt{145})}{24} \\ 1 \end{array}]}$