Álgebra lineal Ejemplos

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}]$

Se trata de una transformación de $ℝ^{3}$ a $ℝ^{3}$ . Para probar que la transformación es lineal, la transformación debe preservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Primero prueba que la transformación preserva esta propiedad.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Configure dos matrices para comprobar si la propiedad asociativa de la suma se aplica a $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Sumar las dos matrices.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}])$

Aplica la transformación al vector.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ (x_{1} + y_{1}) - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ (x_{1} + y_{1}) + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Simplifica cada uno de los elementos en la matriz.

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Reordenar $(x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ (x_{1} + y_{1}) - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ (x_{1} + y_{1}) + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Reordenar $(x_{1} + y_{1}) - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ (x_{1} + y_{1}) + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Reordenar $(x_{1} + y_{1}) + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

Descompón el resultado en 2 matrices agrupando las variables.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

Se satisface la propiedad aditiva de la transformación.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Para que una transformación sea lineal, debe mantener una multiplicación escalar.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Factorice el $p$ de cada elemento.

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Multiplica $p$ por cada elemento en la matriz.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Aplica la transformación al vector.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - 6 (p b) - 3 (p c) \\ (p a) - 2 (p b) + p c \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

Simplifica cada uno de los elementos en la matriz.

Toca para ver más pasos...

Reordenar $(p a) - 6 (p b) - 3 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ (p a) - 2 (p b) + p c \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

Reordenar $(p a) - 2 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

Reordenar $(p a) + 3 (p b) + 5 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

Factorice cada elemento de la matriz.

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Factorice el elemento $0, 0$ multiplicando por $a p - 6 b p - 3 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

Factorice el elemento $1, 0$ multiplicando por $a p - 2 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

Factorice el elemento $2, 0$ multiplicando por $a p + 3 b p + 5 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ p (a + 3 b + 5 c) \end{array}]$

En esta transformación se satisface la segunda propiedad de la transformación lineal.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Para que la transformación sea lineal, el vector cero debe preservarse.

$S (0) = 0$

Aplica la transformación al vector.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ (0) - 2 \cdot 0 + 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

Simplifica cada uno de los elementos en la matriz.

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Reordenar $(0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - 2 \cdot 0 + 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

Reordenar $(0) - 2 \cdot 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

Reordenar $(0) + 3 (0) + 5 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

El vector cero se preserva durante la transformación.

$S (0) = 0$

Dado que no se cumplen las tres propiedades de las transformaciones lineales, esta no es una transformación lineal.

Transformación lineal