Álgebra lineal Ejemplos

$x + 2 y = 1$ , $4 x + 5 y = 13$

Encuentra el $A X = B$ del sistema de ecuaciones.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$

Find the inverse of the coefficient matrix.

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La inversa de una matriz $2 \times 2$ se puede calcular usando la fórmula $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , donde $| A |$ es el determinante de $A$ .

Si $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ entonces $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Find the determinant of $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}]$ .

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Ambas son notaciones válidas para el determinante de una matriz.

$Determinante [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}] = | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |$

El determinante de la matriz $2 \times 2$ puede encontrarse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(1) (5) - 4 \cdot 2$

Simplifica el determinante.

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Simplifique cada término.

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Multiplicar $5$ por $1$ .

$5 - 4 \cdot 2$

Multiplicar $- 4$ por $2$ .

$5 - 8$

Reste $8$ de $5$ .

$- 3$

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa de una matriz.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & - (2) \\ - (4) & 1 \end{array}]$

Simplify each element in the matrix.

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Reordenar $- (2)$ .

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - (4) & 1 \end{array}]$

Reordenar $- (4)$ .

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array}]$

Multiplique $\frac{1}{- 3}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{- 3} \cdot 5 & \frac{1}{- 3} \cdot - 2 \\ \frac{1}{- 3} \cdot - 4 & \frac{1}{- 3} \cdot 1 \end{array}]$

Simplify each element in the matrix.

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Reordenar $\frac{1}{- 3} \cdot 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{1}{- 3} \cdot - 2 \\ \frac{1}{- 3} \cdot - 4 & \frac{1}{- 3} \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $\frac{1}{- 3} \cdot - 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{- 3} \cdot - 4 & \frac{1}{- 3} \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $\frac{1}{- 3} \cdot - 4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & \frac{1}{- 3} \cdot 1 \end{array}]$

Reordenar $\frac{1}{- 3} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Left multiply both sides of the matrix equation by the inverse matrix.

$([\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$

Any matrix multiplied by its inverse is equal to $1$ all the time. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 13 \end{array}]$

Simplifique el lado derecho de la ecuación.

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Multiply each row in the first matrix by each column in the second matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 13 \\ \frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 13 \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz multiplicando todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} 7 \\ - 3 \end{array}]$

Simplify the left and right side.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ - 3 \end{array}]$

Encuentre la solución.

$x = 7$

$y = - 3$