Álgebra lineal Ejemplos

$x + 2 y + z = 3$ , $2 x - y - 3 z = 5$ , $4 x + 3 y - z = k$

Restar $k$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x + 3 y - z - k = 0$

$x + 2 y + z = 3$

$2 x - y - 3 z = 5$

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & - 3 & 5 \\ - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Hallar la forma escalonada reducida.

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Realiza la operación de filas $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (ahora $2$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (2) - 1 & (- 2) \cdot (1) - 3 & (- 2) \cdot (3) + 5 \\ - 1 k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ - k & 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$ en $R_{3}$ (ahora $3$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación $R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ k \cdot R_{1} + R_{3} & k \cdot R_{1} + R_{3} & k \cdot R_{1} + R_{3} & k \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ (k) \cdot (1) - k & (k) \cdot (2) + 3 & (k) \cdot (1) - 1 & (k) \cdot (3) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = k \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & - 5 & - 5 & - 1 \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ en $R_{2}$ (ahora $2$ ) para convertir a $1$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 1) \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$ en $R_{1}$ (ahora $1$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación $R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot R_{2} + R_{1} & - 2 \cdot R_{2} + R_{1} & - 2 \cdot R_{2} + R_{1} & - 2 \cdot R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

$R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- 2) \cdot (0) + 1 & (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (1) + 1 & (- 2) \cdot (\frac{1}{5}) + 3 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

$R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 2 k + 3 & k - 1 & 3 k \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ en $R_{3}$ (ahora $3$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación $R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ (- 2 k - 3) \cdot (0) + 0 & (- 2 k - 3) \cdot (1) + 2 k + 3 & (- 2 k - 3) \cdot (1) + k - 1 & (- 2 k - 3) \cdot (\frac{1}{5}) + 3 k \end{array}]$

$R_{3} = - 2 k - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - k - 4 & \frac{13 k - 3}{5} \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$ en $R_{3}$ (ahora $3$ ) para convertir a $1$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación $R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3} & - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3} & - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3} & - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ (- \frac{1}{k + 4}) \cdot (0) & (- \frac{1}{k + 4}) \cdot (0) & (- \frac{1}{k + 4}) \cdot (- k - 4) & (- \frac{1}{k + 4}) \cdot (\frac{13 k - 3}{5}) \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{1}{k + 4} \cdot R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{1} = R_{3} + R_{1}$ en $R_{1}$ (ahora $1$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación $R_{1} = R_{3} + R_{1}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} R_{3} + R_{1} & R_{3} + R_{1} & R_{3} + R_{1} & R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

$R_{1} = R_{3} + R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{1} = R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 0 + 0 & 1 - 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} + \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

$R_{1} = R_{3} + R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$ en $R_{2}$ (ahora $2$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

Toca para ver más pasos...

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación $R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ - 1 \cdot R_{3} + R_{2} & - 1 \cdot R_{3} + R_{2} & - 1 \cdot R_{3} + R_{2} & - 1 \cdot R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)}) + \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{3} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{11}{k + 4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{14 k + 1}{5 (k + 4)} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)} \end{array}]$

Dado que $- \frac{13 k - 3}{5 (k + 4)}$ no está definido cuando $k = - 4$ , entonces $k = - 4$ hace que el sistema no tenga solución.

$k = - 4$