Álgebra lineal Ejemplos

$x + 2 y - z = 4$ , $2 x + y + z = - 2$ , $x + 2 y + z = 2$

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & - 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}]$

Halla la forma escalonada reducida de la matriz.

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Realiza la operación de filas $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (ahora $2$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (2) + 1 & (- 2) \cdot (- 1) + 1 & (- 2) \cdot (4) - 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ 0 & - 3 & 3 & - 10 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ en $R_{3}$ (ahora $3$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ 0 & - 3 & 3 & - 10 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ 0 & - 3 & 3 & - 10 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (2) + 2 & (- 1) \cdot (- 1) + 1 & (- 1) \cdot (4) + 2 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ 0 & - 3 & 3 & - 10 \\ 0 & 0 & 2 & - 2 \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{2} = - \frac{1}{3} R_{2}$ en $R_{2}$ (ahora $2$ ) para convertir a $1$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación $R_{2} = - \frac{1}{3} R_{2}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ - \frac{1}{3} R_{2} & - \frac{1}{3} R_{2} & - \frac{1}{3} R_{2} & - \frac{1}{3} R_{2} \\ 0 & 0 & 2 & - 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{3} R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{2} = - \frac{1}{3} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ (- \frac{1}{3}) \cdot (0) & (- \frac{1}{3}) \cdot (- 3) & (- \frac{1}{3}) \cdot (3) & (- \frac{1}{3}) \cdot (- 10) \\ 0 & 0 & 2 & - 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{3} R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 2 & - 2 \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$ en $R_{1}$ (ahora $1$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación $R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot R_{2} + R_{1} & - 2 \cdot R_{2} + R_{1} & - 2 \cdot R_{2} + R_{1} & - 2 \cdot R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 2 & - 2 \end{array}]$

$R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- 2) \cdot (0) + 1 & (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (- 1) - 1 & (- 2) \cdot (\frac{10}{3}) + 4 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 2 & - 2 \end{array}]$

$R_{1} = - 2 \cdot R_{2} + R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 2 & - 2 \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ en $R_{3}$ (ahora $3$ ) para convertir a $1$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (- 2) \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$ en $R_{1}$ (ahora $1$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación $R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot R_{3} + R_{1} & - 1 \cdot R_{3} + R_{1} & - 1 \cdot R_{3} + R_{1} & - 1 \cdot R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- 1) - \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{3} + R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Realiza la operación de filas $R_{2} = R_{3} + R_{2}$ en $R_{2}$ (ahora $2$ ) para convertir a $0$ algunos elementos en la fila.

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación $R_{2} = R_{3} + R_{2}$ para poder convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{3} \\ R_{3} + R_{2} & R_{3} + R_{2} & R_{3} + R_{2} & R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{2} = R_{3} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores actuales de los elementos de la operación de filas $R_{2} = R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{3} \\ 0 + 0 & 0 + 1 & 1 - 1 & - 1 + \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{2} = R_{3} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{7}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Usa la matriz resultado para declarar las soluciones finales al sistema de ecuaciones.

$x = - \frac{5}{3}$

$y = \frac{7}{3}$

$z = - 1$

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(- \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, - 1)$