Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Simplifique cada término de la ecuación para poder igualar el lado derecho de la misma a $1$ . La forma estándar de una elipse o hipérbola requiere igualar el lado derecho de la ecuación a $1$ .

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Esta es la forma de una elipse. Utiliza esta forma para determinar los valores usados para encontrar el centro junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Emparejar los valores de la elipse con los de la forma estándar. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa la distancia X desde el origen y $k$ representa la distancia Y desde el origen.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituir los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Hallar $c$ , la distancia desde el centro al foco.

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Hallar la distancia desde el centro al foco de la elipse utilizando la fórmula siguiente.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Reemplazar los valores de $a$ y de $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Simplifica.

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Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Aplicar la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Elevar $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Escriba $1$ como una fracción con denominador común.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Combinar los numeradores sobre el común denominador.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Reste $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Simplifique el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extraiga términos de debajo del radical, asumiendo números reales positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hallar los vértices.

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El primer vértice de una elipse se puede hallar sumando $a$ y $h$ .

$(h + a, k)$

Sustituir los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 1, 0)$

Simplifica.

$(1, 0)$

El segundo vértice de una elipse se puede hallar sustrayendo $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Sustituir los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (1), 0)$

Simplifica.

$(- 1, 0)$

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Hallar los focos.

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El primer foco de una elipse se puede hallar sumando $c$ y $h$ .

$(h + c, k)$

Sustituir los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Simplifica.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

The second focus of an ellipse can be found by subtracting $c$ from $h$ .

$(h - c, k)$

Sustituir los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

Simplifica.

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Hallar la excentricidad.

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Encontrar la excentricidad usando la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Sustituir los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Simplifica.

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Divida $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ entre $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Aplicar la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Elevar $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Escriba $1$ como una fracción con denominador común.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Combinar los numeradores sobre el común denominador.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Reste $1$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Simplifique el denominador.

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Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Extraiga términos de debajo del radical, asumiendo números reales positivos.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Estos son los valores importantes para realizar gráficos y analizar una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{3}}{2}$