Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

Encontrar la forma estándar de la elipse.

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Divida cada término entre $16$ para igualar el lado derecho a 1.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Simplifique cada término de la ecuación para poder igualar el lado derecho de la misma a $1$ . La forma estándar de una elipse o hipérbola requiere igualar el lado derecho de la ecuación a $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Esta es la forma de una elipse. Utiliza esta forma para determinar los valores usados para encontrar el centro junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Emparejar los valores de la elipse con los de la forma estándar. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa la distancia X desde el origen y $k$ representa la distancia Y desde el origen.

$a = 4$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituir los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Hallar $c$ , la distancia desde el centro al foco.

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Hallar la distancia desde el centro al foco de la elipse utilizando la fórmula siguiente.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Reemplazar los valores de $a$ y de $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Simplifica.

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Elevar $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Elevar $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Multiplicar $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{16 - 4}$

Reste $4$ de $16$ .

$\sqrt{12}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Factoriza $4$ a partir de $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Saca los términos del radical.

$2 \sqrt{3}$

Hallar los vértices.

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El primer vértice de una elipse se puede hallar sumando $a$ y $h$ .

$(h + a, k)$

Sustituir los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 4, 0)$

Simplifica.

$(4, 0)$

El segundo vértice de una elipse se puede hallar sustrayendo $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Sustituir los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (4), 0)$

Simplifica.

$(- 4, 0)$

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

Hallar los focos.

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El primer foco de una elipse se puede hallar sumando $c$ y $h$ .

$(h + c, k)$

Sustituir los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

Simplifica.

$(2 \sqrt{3}, 0)$

The second focus of an ellipse can be found by subtracting $c$ from $h$ .

$(h - c, k)$

Sustituir los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

Simplifica.

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Hallar la excentricidad.

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Encontrar la excentricidad usando la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Sustituir los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Elevar $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Elevar $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Multiplicar $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Reste $4$ de $16$ .

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $4$ a partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Saca los términos del radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Cancelar el factor común de $2$ y $4$ .

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Factoriza $2$ a partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Cancelar los factores comunes.

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Factoriza $2$ a partir de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Cancele el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Sustituya la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Estos son los valores importantes para realizar gráficos y analizar una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{3}}{2}$